以下の記事の内容を一部踏まえています：
分類定理
\(\o{Grp}(\C{An})\)の可換図式
\[
\begin{CD} N @>>> G \\ @VVV @VVfV \\ 1 @>>> K \end{CD}
\]
が*群の拡大*であるとは，カルテシアンかつ \(f\)がeffective epiであることを言う．
すべて群対象の射としているので，
\[\begin{CD} BN @>>> BG \\ @VVV @VVBfV \\ \ast @>>> BK \end{CD}\]
という可換図式があり，もしこれがカルテシアンであれば，以下の長方形たちも（pasting lawから）順に全ての四角がカルテシアンになる．
\[\begin{CD} N @>>> 1 @. \\ @VVV @VVV @. \\ G @>f>> K @>>> \ast \\ @VVV @VVV @VVV \\ \ast @>>> BN @>>> BG \\ @. @VVV @VVBfV \\ @. \ast @>>> BK \end{CD}\]
群の拡大に対し，図式
\begin{CD} BN @>>> BG \\ @VVV @VVBfV \\ \ast @>>> BK \end{CD}
はカルテシアン
次がカルテシアン．
\begin{CD}
BG @>>> (BN)_{\o{Aut}(BN)} \\ @VVV @VVV \\ BK @>>> B{\o{Aut}}(BN)
\end{CD}
とくに，群の拡大の全体は次のように表現可能．
\[
\o{Ext}^1(K, N) \cong \pi_0 \o{Map}_\ast(BK, B{\o{Aut}}(BN))
\]
しばしば，Grothendieck構成は半直積の一般化と言われることがあるが，このようにAutで基点を固定しなければ任意の拡大をGrothendieck構成(=(lax) pullback)で再構成できることがわかる．亜群対象ではなくアニマを用いることの帰結と言っても良い．
証明
Group object
Segal anima
\(X_\bullet \colon \b{\Delta}^\r{op} \to \C{An}\)
であって
\(X_0\)
が終対象であるものを，monoid 1 という．
Monoid であって
\[\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \colon M\times M \to M\times M\]
が同型なものを，group という．
anima \(X\) と点 \(x\in X\)
に対し，based loop群 \(\Omega X\in \o{Grp}(\C{An})\)
を次のチェック構成
2で定義する．
\[
\{x\}^{\times_X[-]}\colon \; \xymatrix{
\{x\} \ar[r]
& \{x\}\times_X \{x\} \ar@<0.3em>[l] \ar@<-0.3em>[l] \ar@<0.3em>[r] \ar@<-0.3em>[r]
& \{x\}\times_X \{x\}\times_X\{x\} \ar[l] \ar@<0.6em>[l] \ar@<-0.6em>[l] \ar@{.}[r]
&
}\]
Recognition principle
群は`deloop’できるという定理を復習しておく．
関手 \(\Omega \colon \C{An}_\ast \to \o{Grp}(\C{An})\) は，fully faithful な左随伴 \(B\colon \o{Grp}(\C{An})\to \C{An}_\ast\) をもつ．
\(B\) の像は，connected anima のなす部分圏 \(\C{An}_\ast^{\ge1}\)．
定理の証明に入る．
\(G\to K\)
がeff epiであることと，\(Bf \colon BG \to BK\) のファイバーが連結であることが同値であることに注意する．
\(\Omega \colon \C{An}_\ast^{\ge1} \to \o{Grp}(\C{An})\)
が圏同値なので，\(BN \to BG \to BK\) が \(\C{An}_\ast^{\ge1}\) で fiber sequence であることと，\(\Omega BN \to \Omega BG \to \Omega BK\) が \(\o{Grp}(\C{An})\) で fiber系列であることが等しい．
なお，忘却 \(\o{Grp}(\C{An}) \to \C{An}\) は極限をcreateする．
abelian group
\(A\) が， \(\C{An}\)のアーベル群対象のとき，
\[B{\o{Aut}}(BA) = (BBA)_{\o{Aut}_{\r{Grp}}(A)}\]
したがって \(A\) による\(K\)の拡大は，準同型 \(\varphi \colon K \to \o{Aut}_{\r{Grp}}(A)\)
および (\(\varphi\)-twisted) 2-cocycle \[BK \to (BBA)_K \quad \in \C{An}_{/BK}\] で分類される．
Universal group extension
\[ G \xrightarrow{\r{conj}} \o{Aut}_{\r{Grp}}(G) \to \o{Aut}(BG)\]
is a group extension.