対称モノイダル無限圏 / ∞-operad
以下の記事の内容を一部踏まえています：
目次
記号
- 圏 \(\colon\) \(\infty\)-圏
- ハイフン \((-)\colon\) 関手性
- 下付き \(\bullet\) \(\colon\) simplicial関手性または導来圏の対象
- \(\C{An}\) \(\colon\) アニマ
- \(\C{An}^\r{fin}\) \(\colon\) アニマの圏の(full)部分圏であって，（\(\ast\in\cat{An}\)を含み）finite colimitで閉じているもののうち最小のもの
- \(\C{Cat}\), \(\Cat{Cat}\) \(\colon\) 小圏と圏
- \((\C{Pr}^\r{L}, \otimes, \C{An})\) \(\colon\) 表示可能圏のなす対称モノイダル圏
Introduction
Mayの(coloured)オペラッドにおいて「位相空間」を「アニマ」に置き換えたものを，\(\oo\)-オペラッドあるいはたんにオペラッドと言います．対称モノイダル∞-圏もその一例になります．
現状，このポストは，非常に基本的な定義の紹介にとどまっており，∞-オペラッドの理論自体には立ち入りません．
Jacob Lurie, Higher algebra, https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.
復習：cocartesian arrow
\(p\colon \c{E} \to \c{C}\) を固定する．
任意の \(g\colon p(x') \to c\) の cocartesian lift が存在する時，\(p\) を cocartesian fibration と呼ぶ．
一応，quasicategoryのコカルテシアンファイブレーションの定義と比べると，わずかに定義が緩くなっていますが，圏同値不変な定義としてはこれが最も合理的です．
これにより，(non-full)部分圏 \(\C{coCart}(\c{C}) \subset \C{Cat}_{/\c{C}}\) を定義する．
(Un)straightening 定理を復習しておきます．
可換モノイド/対称モノイダル圏
まず，「可換モノイド」という構造を復習します．集合論的な世界観では，可換モノイドとは，モノイドという二項演算構造プラス可換性という捉え方がされます．しかし，圏論をベースとして考える際，「可換演算構造」そのものが何であるべきかを問うことが重要です．
「二項演算+可換性」を超えた，可換モノイドの考え方として，次のようなものを提案できます．
- （演算の順序によらず，）有限和が定義される構造．
つまり，有限集合で添字付けられた族 \(\lbrace x_i\rbrace_{i\in I}\)に対する「和」\(\sum_{i\in I} x_i\) の構造であると考えます．有限順序集合ではなく，順序を持たない有限集合を採用するという点が，結合的なモノイドと異なる部分であり，可換性を完全に記述するものとなります．
もう少し正確に述べると，可換モノイド\(M\)とは，有限集合の間の写像\(\phi \colon J \to I\)に対し，和： \[\phi_\sharp \; \colon \prod_J M \ni (x_j)_{j\in J} \mapsto (\sum_{j\in \phi^{-1}(i)} x_j \; )_{i\in I} \in \prod_{I} M\] が定義され，（\(J, I, \phi\)についての）関手性を持つものであるということです．この関手性が，古典的な結合法則に対応します．
そして，写像 \(\phi_\sharp\) が上の式のような形をしていることもやはり指定しておく必要があります．つまり以下のような可換性が要求されます． \[\xymatrix{\prod_J M \ar[r]^{\phi_\sharp} \ar[d]_{\r{res}} & \prod_I M \ar[d]^{\r{pr}_i} \\ \prod_{\phi^{-1}(i)} M \ar[r]_{\phi_i’{}_\sharp} & M}\] ただし，\(\phi_i’\) は写像 \(\phi^{-1}(i) \to \ast\)．
したがって，単射 \(I’ \hookrightarrow I\) による引き戻し \(\prod_{I} M \to \prod_{I’} M\) が必要です．上の可換図式を観察すると，これは有限集合の間の partially defined maps の合成についての関手性に他ならないことがわかります．
つまり，\(\rho\colon J_+ \to I_+\) が inert であるとは，各 \(i\in I\) に対し \(\rho^{-1}(i)\) が一点であることであり，また active なのは \(\rho^{-1}(\ast)=\ast\) のときである．
したがって，次の Segal による定義に辿り着きます．以下，有限集合 \(I\) と \(i\in I\) に対して，(inert)写像 \(\rho^i \colon I_+ \to \lbrace i \rbrace_+\) を以下で定義しておく． \[ \rho^i(x) = \begin{cases} i & (x=i) \\ \ast & (x\neq i) \end{cases} \]
\(M(\ast)\) を，可換モノイド構造の underlying object であると考え，たんにこれを \(M\) と略記することもあります．
\(\infty\)-圏論の優秀な点として，メタ的な帰納のステップが，自己完結するという点があります．たとえば，次のように対称モノイダル\(\infty\)-圏を即座に定義することができます．
active 射 \(I_+ \to 1_+\) の誘導する関手を \(\otimes_{i\in I} \; \colon \; \prod_I \c{C} \to \c{C}\) と書く．
オペラッド
対称モノイダル圏 \((\c{C}, \otimes) \colon \r{Fin}_\ast \to \Cat{Cat}\) を unstraightening して，cocartesian fibration \[p\colon \c{C}^\otimes \to \r{Fin}_\ast\] が対応します．インフォーマルに，\(\c{C}^\otimes\) は，対象が \(\c{C}\) の対象の有限族 \(\lbrace x_i \rbrace_{i\in I}\) で，射が \[ \o{Map}_{\c{C}^\otimes} (\lbrace y_j\rbrace_{j\in J}, \lbrace x_i\rbrace_{i \in I}) \simeq \coprod_{\phi \colon J_+ \to I_+} \prod_{i\in I} \o{Map}_{\c{C}}( \bigotimes_{j\in \phi^{-1}(i)} y_j, x_i ) \] であるような圏として説明されます． \(\c{C}^\otimes\) の圏としての構造が，operadicな合成構造を記述していることに注意します．
オペラッドとは，active射のcocartesian liftである \(\otimes_{i\in I} \colon \prod_{i\in I} \c{C} \to \c{C}\) を仮定せずに，\(\o{Map}_{\c{C}}( \bigotimes_{j\in \phi^{-1}(i)} y_j, x_i )\)の部分を抽象化した構造のことでした．なので，以下のように∞-オペラッドを定義します．
- 任意の\(X\in\c{O}^\otimes\)と inert射 \(\rho\colon p(X) \to J_+\) に対し，\(p\)-cocartesian lift \(X \to \rho_\sharp X\) が存在する．
- 関手 \[\{\rho^i_\sharp\}_{i\in I} \colon \{I_+\}\times_{\r{Fin}_\ast} \c{O}^\otimes \to \prod_{i\in I} \c{O}\] が圏同値．
- cocartesian lifts \(\widetilde{\rho^i}\) の誘導する以下の四角が，カルテシアン． \[\xymatrix{\o{Map}_{\c{O}^\otimes}(-, X) \ar[d]_p \ar[rr]^{\{\widetilde{\rho^i}\circ(-)\}\quad} && \prod_{i\in I} \o{Map}_{\c{O}^\otimes}(-, \rho^i_\sharp X) \ar[d]^p \\ \o{Hom}_\ast(p(-),I_+) \ar[rr]_{\{\rho^i\circ(-)\}\quad} && \prod_{i\in I} \o{Hom}_\ast(p(-), \{i\}_+) }\]
(small) オペラッド全体のなす圏 \(\C{Opd}\) は，\(\C{coCart}(\r{Fin}_\ast^{\r{inert}}) \times_{\C{Cat}_{/\r{Fin}_\ast^\r{inert}}} \C{Cat}_{/\r{Fin}_\ast}\) の full subcategoryとして定義する．
圏 \(\c{O}\) は，underlying category of \(\c{O}^\otimes\) などと呼ばれます．
1-圏 \(\bb{E}_1^\otimes \to \r{Fin}_\ast\) を，対象はpointed finite sets，そして\[\o{Map}_{\bb{E}_1^\otimes}(J_+, I_+) \coloneqq \coprod_{\phi\in\o{Hom}_\ast(J_+,I_+)} \prod_{i\in I} \{\t{orderings of } \phi^{-1}(i)\}\] で定義すると，オペラッドになる．
- \(\o{Fun}_{/\r{Fin}_\ast}(\c{P}^\otimes, \c{O}^\otimes)\) の full subcategory であって，inert射のcocoartesian liftを保つ関手で生成されるもの．
\(\o{CAlg}(\c{C}) \coloneqq \o{Alg}_{\bb{E}_1}(\c{C})\)；代数対象のなす圏．
補遺
Monoidal adjunction
Module
Appendix A in Tony Annala, Ryomei Iwasa, Motivic spectra and universality of K-theory, arXiv:2204.03434v2.
underlying category \(\bb M\) はちょうど二つの対象をもつことに注意します．これにより，\(\o{Alg}_\bb{M} (\c{C})\) の対象は，可換代数とその上の加群の組 \((A,M)\) であると考えることができます．
対称モノイダル圏 \((\c{C},\otimes)\) に対して，\(\o{Alg}_\bb{M} (\c{C})\) を \(\o{Mod}(\c{C})\) と書く．とくに，関手 \(\o{Mod}(\c{C}) \to \o{CAlg}(\c{C})\) があり，\(A \in \o{CAlg}(\c{C})\) 上のファイバーは \(\o{Mod}_A(\c{C})\) と書かれる．
可換性を課さない変種として，\(\phi\) を \(\bb{E}_1^\otimes\) の射，そして各 \(s\in S\) に対し一点 \(\phi^{-1}(s) \cap T\) が \(\phi^{-1}(s)\) の最小元であることを課したものがあり，これもまたオペラッド \(\bb{RM}^\otimes\) を与えます．
ファイバーの順序を忘却する写像 \(\bb{RM}^\otimes \to \bb M^\otimes\) があります．
基本的な結果として，可換代数の上の加群の構造は，結合性の構造のみにしか依らないというものがあります．